APPROXIMATIONS DIOPHANTIENNES

Article

Marcel DAVID

Edité par Encyclopædia Universalis - 2009

La théorie des approximations diophantiennes concerne principalement l'approximation des irrationnels par des rationnels. Dans le cas d'un seul irrationnel, un rôle essentiel est joué par les fractions continuées (utilisées dès 1650 par Huygens pour le calcul des engrenages des horloges astronomiques). L'approximation des irrationnels algébriques fut étudiée par une méthode directe en 1844 par Liouville ; ses résultats furent améliorés à de nombreuses reprises jusqu'à l'important et définitif résultat de Roth en 1955. Dans le cas de plusieurs irrationnels, on peut soit chercher à approcher chacun d'eux par un rationnel, soit chercher à rendre minimale une forme linéaire à variables entières, à coefficients irrationnels (problème dual du précédent). Dans les deux cas, la théorie des réseaux de points (ou Z-modules, comme Zn par exemple) joue un grand rôle, avec la caractérisation de ses bases et le théorème fondamental de Minkowski sur les domaines convexes symétriques d'un réseau ; ce dernier théorème conduit principalement à la résolution en entiers d'inégalités à coefficients irrationnels, ce qui est aussi un problème d'approximation diophantienne. L'étude de la répartition modulo 1 a été également rattachée à cet article, étant encore, dans une certaine mesure, une question d'approximation diophantienne.

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