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ANNEAUX COMMUTATIFS
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Edité par Encyclopædia Universalis - 2009
Dans tout ce qui suit, on se bornera à considérer des anneaux commutatifs unitaires, c'est-à-dire possédant un élément unité pour la multiplication, noté 1. Les définitions sont celles de l'article suivant, anneaux et algèbres.De nombreux cas particuliers d'anneaux commutatifs unitaires ont été étudiés au XIXesiècle, principalement à propos de recherches de théorie des nombres et de géométrie algébrique. Introduits à l'origine pour étudier la divisibilité dans de tels anneaux, les idéaux, cas particuliers de modules, se sont révélés essentiels dans de nombreuses questions. En fait, la classification des différents types d'anneaux s'effectue suivant la structure de leurs idéaux.L'arithmétique des anneaux dits principaux est analogue à l'arithmétique des nombres entiers ou des polynômes ; plus généralement, on peut étudier de manière satisfaisante l'arithmétique des anneaux de Dedekind : ici, les propriétés de divisibilité, déroutantes a priori, s'expriment harmonieusement dans le cadre de la théorie des idéaux. Une autre généralisation possible des anneaux principaux, qui englobe d'ailleurs la précédente, est liée à des conditions de finitude : tout idéal d'un anneau principal est formé des multiples d'un élément ; plus généralement, on peut considérer les anneaux dans lesquels tout idéal est formé des combinaisons linéaires (à coefficients dans l'anneau) d'un nombre fini d'éléments, et ces anneaux, appelés noethériens, possèdent une remarquable propriété de stabilité, découverte par Hilbert, à savoir que l'anneau des polynômes sur un anneau noethérien est lui-même noethérien. Pour terminer, mentionnons ici la classe importante des anneaux locaux, qui possèdent un unique idéal maximal : cela signifie qu'il existe un idéal propre contenant tous les autres idéaux propres de l'anneau ; ces anneaux jouent un grand rôle dans la théorie des variétés algébriques, différentiables ou analytiques, car les anneaux de germes de fonctions sont de ce type. L'étude des anneaux locaux est très liée à des considérations topologiques.Le tableau précise les rapports entre ces différents anneaux, chaque flèche exprimant qu'une propriété en entraîne une autre.
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